Publications et prépublications
en liaison avec les tresses
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| Abstract:
We extend Kontsevich's universal knot invariant to embedded graphs in $R^3$. Our construction relies on several categorical concepts and the
following facts: (i) The free infinitesimal symmetric category on one object is a category whose sets of morphisms are spanned by the chord diagrams
that appear in the theory of Vassiliev invariants. (ii) We prove that the pro-unipotent completion of the tangle category is isomorphic to the
above-mentioned category of chord diagrams. This is a categorical generalization of Kontsevich's isomorphism and it allows us to compute the
quantum invariants of a knot from its chord diagram invariant. Using Drinfeld's work on the Grothendieck-Teichmueller group, we also construct an
action of the Galois group $Gal(\bar{\bf Q}/{\bf Q}) on the Vassiliev invariants of knots and links.
Duke Math. J. 92 (1998), 497--552. MSC : 17B37, 18D10, 19D23, 57M25, 81R50. |
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| Abstract:
Soit $G_n(R)$ le produit semi-direct du groupe symétrique $S_n$ par le groupe de Steinberg $St_n(R)$ d'un anneau $R$. Nous
établissons au théorème 1 que $G_n(R)$ a une présentation similaire à celle d'un groupe de Coxeter.
L'application canonique de $St_n(R)$ dans $GL_n(R)$ s'étend en un homomorphisme de groupes $F$ de $G_n(R)$ dans $GL_n(R)$. Nous
en déterminons le noyau dans le cas stable $n = \inftyi$ (voir Théorèmes 2 et 3). Au passage nous donnons une expression
pour le générateur du groupe $K_2({\bf Z})$ de K-théorie algébrique de l'anneau des nombres entiers relatifs
à l'aide de matrices de permutation (voir Proposition 2).
K-Theory 14 (1998), 305--318. MSC : 19C09, 19C99, 20B30, 20F55. |
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| Abstract:
Etant donné un anneau R et une décomposition réduite i = (i1, i2,... , iN) d'une permutation w, nous construisons une bijection
Pi : (x1,x2,... , xN)--> P_{i1}(x1) P_{i2}(x2) ... P_{iN}(xN) de R^N vers la cellule de Schubert de w, où P_{i1}(x1), P_{i2}(x2),... ,
P_{iN}(xN) sont des matrices élémentaires vérifiant des relations de type Coxeter. Nous montrons comment factoriser
explicitement tout élément d'une cellule de Schubert comme un produit de matrices Pi(x). Nous utilisons ces factorisations pour
établir une bijection entre les décompositions réduites de w et les remplissages injectifs équilibrés du
diagramme de w et pour caractériser les classes de commutation de décompositions réduites.
MSC : 20B30, 20G15, 05E15, 14M15, 15A23. |
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| Abstract:
Au début des années 1990 Dehornoy a déduit un ordre total sur le groupe des tresses d'Artin à partir de l'étude
générale des systèmes autodistributifs, définis comme des ensembles munis d'une loi de composition vérifiant
l'identité x(yz) = (xy)(xz). Cette étude avait été motivée par un axiome indémontrable de
théorie des ensembles impliquant l'existence d'un système autodistributif remarquable. Dans ce texte on présente les travaux
de Dehornoy ainsi que leur lien inattendu avec la théorie des ensembles. On expose aussi deux constructions géométriques
récentes de l'ordre de Dehornoy.
à paraître dans Astérisque, Soc. Math. France, Paris 2000. MSC : 20F36, 20F60, 20F10, 57M07, 06F15, 03E55, 08A50, 68Q70. |
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| Abstract:
On considère le cas du groupe quantique U_q(sl_2) lorsque le paramètre q est une racine primitive 2r-ième de
l'unité. Sa catégorie de modules n'est pas semisimple dans ce cas. On peut la forcer à être semisimple en
éliminant ce que Turaev a appelé les modules ``négligeables" (essentiellement ceux dont la ``dimension quantique" est nulle).
Dans une première partie, nous démontrons que cette catégorie semisimplifiée est équivalente à une
catégorie de diagrammes planaires associée au crochet de Kauffman. La deuxième partie de la thèse est une
conséquence de la première. Nous redémontrons de manière topologique une formule de symétrie de Kirby et
Melvin pour l'invariant quantique des noeuds associé à U_q(sl_2). La troisième partie est purement algébrique et
porte sur la quantification de la superalgèbre de Lie D(2,1,x), qui joue un rôle particulier en physique et dans la théorie des
invariants de Vassiliev. Les quantifications de ces superalgèbres de Lie sont des superalgèbres de Hopf munies de bases de type
Poincaré-Birkhoff-Witt. Nous construisons explicitement une R-matrice universelle pour la quantification U_h(D(2,1,x)) de D(2,1,x).
Thèse de Doctorat de l'Université Louis Pasteur, Strasbourg, novembre 2000. MSC : |
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| Abstract:
We prove a refinement of Pierre Vogel's statement that the Vassiliev invariants of knots coming from semisimple Lie algebras do not generate all
Vassiliev invariants. This refinement takes into account the second grading on the Vassiliev invariants induced by cabling of knots. As an application
we get an amelioration of the actually known lower bounds for the dimensions of the space of Vassiliev invariants.
J. of Knot Th. and its Ramif. 8, No. 5 (1999), 659-666. MSC : |
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| Abstract:
We prove that chromatic weight systems, introduced by Chmutov, Duzhin and Lando, can be expressed in terms of weight systems associated with
direct sums of the Lie algebras gl_n and so_n. As a consequence the Vassiliev invariants of knots corresponding to the chromatic weight systems
distinguish exactly the same knots as a one-variable specialization Y of the Homfly and Kauffman polynomial.
Math. Ann. 317 No. 3 (2000), 459-482. MSC : |
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| Abstract:
Let g be a complex, simple Lie algebra and t a Cartan subalgebra of g. A new unitary, flat connection on t with values in any finite-dimensional
g-module V and simple poles along the root hyperplanes was recently introduced by J. Millson and myself. This connection depends upon a complex
parameter h and I conjectured that its monodromy is equivalent to the quantum Weyl group representation of the braid group of type g defined by
Lusztig, Kirillov-Reshetikhin and Soibelman via the quantum group U_{h}g. In this paper, I prove this conjecture for g=sl_{n}.
MSC : |
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| Abstract:
Le résultat principal de cette note est que tous les groupes d'Artin associé à un groupe de Coxeter cristallographique sont
linéaires.
MSC : |
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| Abstract:
Define a thin Gaussian monoid to be a monoid where unique right and left lcm's exist and that satisfy additional finiteness assumptions, and a thin
Gaussian group to be the group of fractions of a thin Gaussian monoid. The family of thin Gaussian groups contains the braid groups, all Artin groups
of finite Coxeter type, and various extensions previously considered. Here we prove that thin Gaussian groups are biautomatic, and that being a thin
Gaussian group is a recursively enumerable property, ie, there exists an algorithm constructing the (infinite) list of all thin Gaussian groups. The latter
result relies on an effective, tractable method for recognizing those presentations that define a thin Gaussian monoid.
MSC : 05C25, 20F36. |
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| Abstract:
We solve the word problem of the identity $x(yz) = (xy)(yz)$ by investigating a certain group describing the geometry of that identity. We also
construct a concrete realization of the free system of rank~$1$ relative to the above identity.
MSC : 03D40, 08B20, 20N02. |
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| Abstract:
We prove that the group of left self-distributivity,
a cousin of Thompson's group~$F$ and an extension of Artin's braid group~$B_\infty$
that describes the geometry of the identity $x(yz) = (xy)(xz)$, admits
a bi-invariant linear ordering. To this end, we define a partial action
of this group on finite binary trees that preserves a convenient linear
ordering.
MSC : 20F60, 20E08, 20N02. |
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| Abstract:
We develop a counterpart to Garside's analysis of the braid monoid $B_n^+$ relevant for the monoid~$\MLD$ that describes the geometry of the left
self-distributivity identity. The monoid $\MLD$ extends $B_\infty^+$, of which it shares many properties, with the exception that it has no natural
expression as a direct limit of finitely generated monoids. We introduce a convenient local version of the fundamental words
$\D_n$, and prove that right lower common multiples exist in $\MLD$.
J. Pure Appl. Algebra, to appear MSC :20F36, 20N02. |
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| Abstract:
Here we introduce new algebraic techniques for the study of left self-distributivity. We establish a selfsimilarity propriety for the terms $\der^k t$
which are counterparts to Garside's fundamental braids $\D_n^k$, and deduce partial answers to several long-standing open questions: convergence
of the Polish Algorithm, computation of the normal form, existence of a lattice structure on LD-equivalence classes.
Advances in Math, to appear. MSC :20N02, 20F36. |
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| Progress in Mathematics, volume 192; Birhauser (2000); xvi + 624 pages. |
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| Abstract:
A small Gaussian group is a group of fractions of a cancellative conical monoid in which least common multiples exist and some additional finiteness
condition holds. We show here how to extend the Elrifai-Morton solution for the conjugacy problem in braid groups to the case of small Gaussian
groups.
Comm. in Algebra 29-3 (2001) 1021-1039 MSC :20F36, 20F52. |
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| Abstract:
Let $A$ be an Artin group with standard generating set $\{\sigma_s:s\in S\}$. Tits conjectured that the only relations in $A$ amongst the squares of
the generators are the obvious ones, namely that $\sigma_s^2$ and $\sigma_t^2$ commute whenever $\sigma_s$ and $\sigma_t$ commute, for
$s,t\in S$. In this paper we prove Tits' conjecture for all Artin groups. In fact, given a number $m_s\geq 2$ for each $s\in S$, we show that the
elements $\{T_s=\sigma_s^{m_s}:s\in S\}$ generate a subgroup in which the only relations are that $T_s$ and $T_t$ commute if $\sigma_s$ and
$\sigma_t$ commute.
MSC :20F36, 57N05. |
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